Để tránh hiện tượng quy về vô hạn (định nghĩa một từ bằng một từ khác, mà lại cần định nghĩa thêm), chúng ta chấp nhận một số khái niệm chưa định nghĩa là những khái niệm nguyên thủy (ví dụ như "điểm" hay "tập hợp"). Chúng ta cũng chấp nhận tiên đề: những phát biểu được giả định đúng mà không cần chứng minh.

Ví dụ: Trong Hình học Euclid, chúng ta chấp nhận tiên đề rằng có thể vẽ một đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ.

Định nghĩa là những mô tả được đồng thuận về các khái niệm mới dựa trên tiên đề và các khái niệm chưa định nghĩa. Một hệ thống toán học được xác định rõ ràng là "một tập hợp gồm tiên đề, định nghĩa và các khái niệm chưa định nghĩa".

Một chứng minh là lập luận hình thức kết nối các tiên đề và định nghĩa lại với nhau để xác nhận một định lý. Đó là cơ chế logic biến một phỏng đoán thành một sự thật đã được khẳng định.

• Định lý: Một mệnh đề quan trọng đã được chứng minh là đúng (ví dụ: "Nếu hai cạnh của một tam giác bằng nhau thì hai góc đối diện với chúng cũng bằng nhau").
• Bổ đề: Một "bước đệm chiến thuật"—một định lý không hấp dẫn nếu xét riêng nhưng lại rất quan trọng để chứng minh một kết quả lớn hơn.
• Hệ quả: "Quả dễ hái"—một định lý được suy ra một cách dễ dàng và ngay lập tức từ một định lý khác.